L'énergie nucléaire et son application dans le livre avec le thorium
Je connais la théorie et je veux aller directement aux calculs
La relativité restreinte
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L'énergie nucléaire et son application dans le livre avec le thorium
Je connais la théorie et je veux aller directement aux calculs |
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Explication de la théorie de la relativité restreinte Avant d'expliquer la relativité restreinte, commençons par rappeler ce qu'est la relativité selon Newton, comme nous l'avons apprise en secondaire. La relativité, c'est simple ! Nous l'observons tous les jours lorsque nous prenons un moyen de transport par exemple. Quand vous êtes dans un train, vous pourrez voir un passager marcher - disons à du 1 m/s - dans le wagon. Pour les besoins de l'exemple, nous dirons que le passager se déplace dans le même sens que le train, qui lui roule à du 10m/s. Pour une personne immobile le long du chemin de fer, le passager avance à la vitesse de 11 m/s. Les vitesses du train et du passager se sont effectivement additionnées, 10 + 1 = 11. Pour vous, le passager va à du 1 m/s, pour l'observateur hors du train, il va à du 11 m/s. La relativité, c'est cela ! Maintenant pour les très grandes - vraiment très grandes - vitesses, il faut intégrer d'autres effets relativistes. C'est l'objet de la rubrique. L'unité de mesure privilégiée pour la vitesse sera le km/h. |
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Par facilité, nous allons reprendre l'exemple donné par Robin Jarre dans le livre. Souvenez-vous, il évoquait une personne - appelons-la Bob - dans un aéroport qui observait deux passagers immobiles sur un tapis roulant. La vitesse du tapis roulant étant de 2 km/h, c'était aussi la vitesse à laquelle se déplaçaient les deux passagers par rapport à Bob. Soudain, un des deux passagers se mettait en mouvement, et marchait à du 3 km/h. Pour Bob, sa vitesse était de 5 km/ h (2 + 3 = 5).
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La vitesse de la lumière c vaut 299.792.458 m/s (± 3 * 108 m/s) |
Après cela, Robin Jarre rappela les travaux d'Einstein. En 1905, à travers sa théorie de la relativité restreinte, Albert Einstein établit qu'il y avait une limite physique à la vitesse d'un corps en mouvement, et que cette limite était la vitesse de la lumière dans le vide. Cette limite avait été observée empiriquement, et avait d'abord trouvé des explications bancales dans des théories diverses, la plus célèbre étant celle de l'éther. Passons. Le fait qu'il puisse y avoir une limite physique quelle que soit le point de référence n'est pas sans conséquence. Cela veut dire qu'il est impossible* pour un observateur de voir un objet se déplacer plus vite que la vitesse de la lumière. Cette vitesse est exactement de 299.792.458 m/s, et pour simplifier les choses nous allons l'arrondir à 300.000 km/s. Concrètement, pour tous les observateurs, le même rayon lumineux se déplaçant dans le vide va à du 300.000 km/s.
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Ce n'est pas intuitif. Comme Robin Jarre, reprenons l'exemple du tapis roulant avec d'autres vitesses. Nous allons maintenant rentrer dans le monde des grandes vitesses. Quand on parle de grande vitesse - disons 10% de la vitesse de la lumière -, il faut s'imaginer un objet qui va au moins 2500 fois plus vite qu'une fusée, ou 200.000 fois plus vite que le JR-Maglev, appelé à devenir le train le plus rapide du monde. Pour bien comprendre, 2500 fois moins vite qu'une fusée, c'est la vitesse d'un joggeur du dimanche. 200.000 fois moins vite que le JR-Maglev... c'est la vitesse d'un escargot ! |
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Désormais donc, le tapis va à du 200.000 km/s, soit 2/3 de la vitesse de la lumière. Cette vitesse est évidemment techniquement impossible à atteindre, mais ce n'est pas notre souci. Robin Jarre imaginait qu'un des deux passants sur le tapis se mette en mouvement, lui aussi à du 200.000 km/s. À quelle vitesse ce dernier se déplace-t-il pour Bob, resté immobile à côté du tapis roulant ? Facile ! répondrez-vous. 200.000 + 200.000 = 400.000. Le passant en mouvement va donc à du 400.000 km/s pour Bob ! Eh non ! Ça marchait uniquement pour les petites vitesses utilisées dans le premier exemple de Robin Jarre. Mais comme on l'a dit, il n'est pas possible d'aller plus vite que la lumière. Or, ici, le passant irait à une vitesse de 400.000 km/s, soit 100.000 km/s de plus que la lumière. Pourtant, le tapis avance bien à du 200.000 km/s et le passant se déplace à la même vitesse sur le tapis. À quelle vitesse va-t-il pour Bob alors ? À un peu moins de 277.000 km/s. Et si le passant avançait à du 250.000 km/s ? Alors pour Bob il irait à du 289.000 km/s. Et s'il allait à du 295.000 km/s ? Pour Bob il irait à peine plus vite, malgré le tapis roulant, soit moins de 299.000 km/s. Et s'il allait à du 301.000 km/s ? Ce n'est tout simplement pas possible car sinon il irait plus vite que la lumière. Nous voyons que la vitesse de la lumière peut être approchée, mais n'est jamais atteinte. Oui mais pour en revenir à l'exemple des tapis roulants, pourquoi n'a-t-on pas pu addionner les vitesses, comme on le faisait au tout début ? Que s'est-il passé ? Alors que le passager immobile sur le tapis roulant voit l'autre passager s'éloigner à du 200.000 km/s, pour Bob ce même passager s'éloigne à du 77.000 km/s par rapport au premier, et donc à du 277.000 km/s (200.000 + 77.000) par rapport à lui-même. Il ne suffit pas de dire que la vitesse de la lumière ne peut être atteinte. Albert Einstein était bien d'accord avec cela, de même que les autres spécialistes qui s'étaient penchés sur la question. Nous entrons maintenant dans le vif du sujet. Première précision, la relativité restreinte n'est pas un phénomène optique comme il arrive à certaines personnes de le penser. Elle a vraiment une réalité physique. Comme mentionné dans la page d'introduction du site, Julien a bel et bien moins vieilli que les autres Terriens lors du retour de son expédition spatiale. D'où l'impression qu'il a voyagé dans le Futur. Notez que ce n'est pas tout à fait correct. Il a juste vieilli (beaucoup) moins vite que les Terriens.
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À grande vitesse, le temps se dilate de manière tangible ! |
Il se fait que quand un corps se met en mouvement par rapport à un autre, le temps se dilate et l'espace se contracte. Les effets ne sont tangibles qu'à de grandes vitesses. Il est intéressant de souligner que les effets s'appliquent sur les deux corps de la même manière. Pourquoi alors, c'est Julien qui a moins vieilli que les Terriens et pas le contraire ? Pourquoi c'est pour lui que le temps s'est dilaté ? Parce qu'en faisant demi-tour pour revenir, via une décélaration par rapport à la Terre dont il a senti physiquement les effets, c'est lui qui a changé ses lignes de temps, ou lignes de simultanéité. Si la Terre s'était mise en mouvement en direction de Julien à vitesse suffisante que pour le rattrapper, c' aurait été lui qui aurait été plus vieux ! Et ce serait les Terriens qui auraient senti physiquement les effets de l'accélération par rapport à Julien. |
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L'espace tel que nous le connaissons a trois dimensions : longueur, largeur, et hauteur. Mais dès lors qu'on étudie des corps se déplaçant à grande vitesse, il importe de considérer une quatrième dimension : le temps. Plus le corps va vite, plus la dimension du temps prend de l'importance. Et cela se fait "au détriment" des autres dimensions, par la contraction de la longueur dans le cas d'un mouvement rectiligne. L'Espace-Temps, soit les quatre dimensions, est quant à lui constant. Il y a ainsi quelques enseignements étranges que nous fournit la relativité restreinte :
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À grande vitesse, le temps se dilate et l'espace se contracte. Le temps a la particularité de s'écouler. Ainsi c'est la seule dimension qui conserve ses effets lorsqu'il retourne au repos. Julien Palombe et sa fusée se sont contractés, mais ont recouvré leurs aspects initiaux en revenant sur Terre. Comme le temps s'est écoulé moins vite, ils ont effectivement vieilli moins vite. |
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Accepter que le temps ne soit pas absolu et que l'espace se contracte demande un certain esprit d'abstraction car nous connaissons le monde sous trois dimensions, et non quatre. Le monde des grandes vitesses nous est impossible à observer au quotidien. |
On tient ici l'explication pour les passagers du tapis roulant. Le tapis avance à grande vitesse. Comme l'espace se contracte et que le temps se dilate, Bob observe une moindre distance parcourue par le passager en mouvement pour une même période. La vitesse relative entre les deux passagers du tapis est donc plus petite quand elle est calculée depuis le sol ferme que depuis le tapis. Voilà pourquoi il ne suffit pas d'additionner la vitesse du tapis roulant observée depuis le sol ferme avec celle observée par ses passagers. Cette dernière partie est moins digeste. Mais vous avez compris le principe de la relativité restreinte ! Certes, ce site n'a pas la prétention de vous fournir le pourquoi du comment. Pour les lecteurs plus curieux, la documentation ne manque pas sur le Net. À titre personnel, je vous recommande le livre "La théorie de la relativité restreinte et générale" écrit par Albert Einstein lui-même aux éditions Dunod. Maintenant nous sommes parés pour analyser ce qui est arrivé à Julien Palombe lors de son odyssée. Ci-dessous seront expliqués les différents calculs, leurs hypothèses, et leurs résultats numériques. Vous comprendrez aussi pourquoi les mentionner dans l'ouvrage aurait risqué de décourager plus d'un lecteur.
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| Application
dans l'ouvrage
Rappelons brièvement ce qui est arrivé à Julien Palombe. Date de départ de la Terre :
Mercredi 10 avril 1799 (connue) Le temps s'est donc clairement dilaté pour Julien. Ce qui est le plus surprenant, c'est que l'essentiel de la dilatation du temps s'est produite sur quelques jours pour Julien. Reprenons. La première étape est de calculer la vitesse v(t) du vaisseau de Julien au temps t. Comme il démarre d'une vitesse nulle et qu'il a une accélération supposée constante, le calcul est de prime abord facile... Mais ce serait sans compter les effets de... la relativité ! En effet, imaginons qu'une balle tombe vers la Terre de très haut. Admettons que la gravité soit la même indépendamment de la hauteur, même si dans cet exemple ce serait plus que jamais faux ! Combien de temps faudrait-il pour que la balle atteigne la vitesse de la lumière ? Facile ! Et que se passerait-il alors si la balle tombait une seconde de plus ? Elle dépasserait la lumière ??? En fait, dans sa chute, la balle accumule de la vitesse - on dit que sa masse inertielle augmente -, et elle se contracte. L'accélération subirait le même sort, ce qui veut dire que la balle verrait sa vitesse depuis la Terre augmenter de moins en moins vite. Si on voulait garder une accélération équivalente à la gravité, il faudrait appliquer une force supplémentaire sur la balle. Cette force serait négligeable au début, mais deviendrait de plus en plus importante, pour devenir quasiment infinie aux abords de la vitesse de la lumière quand la masse inertielle de la balle serait elle-même quasiment infinie. Ainsi, il est plus facile de passer de 98% à 99% de la vitesse de la lumière, que de 99% à 99,5% ! Il a en effet fallu à Julien moins de 79 jours pour passer de 98% à 99% de la vitesse de la lumière, et plus de 202 pour passer de 99% à 99.50% ! Pourtant, pour Julien, l'accélération de son vaisseau était constante.
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La longueur se contracte à grande vitesse |
À grande vitesse, la longueur se contracte. Donc si pour Julien, l'accélération du vaisseau est constante et lui permet de ne pas être en état d'impesanteur, vue de la Terre, l'accélération reste positive mais est dégressive. En d'autres mots, comme la balle qui tombe sur la Terre, la vitesse du vaisseau de Julien augmente constamment... mais l'augmentation de vitesse diminue à chaque instants lorsqu'elle est observée depuis la Terre.
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Commençons par rappeler ce que veulent dires les coefficients β et γ mentionnés par le professeur Grégoire Leduc quand il a rencontré Julien. β = v/c β renseigne simplement le rapport entre la vitesse v observée d'un
objet et la vitesse de la lumière c dans le vide. Par définition, il
est compris entre 0 et 1 car un objet ne peut pas se déplacer plus
lentement qu'au repos, et qu'il ne peut pas aller plus vite que la
lumière. Notez que γ tend vers 1 quand β tend vers 0, et que γ tend vers l'infini quand β tend vers 1. Le nœud de l'histoire, c'est bien ce coefficient γ. C'est lui qui permet de calculer dans quelle mesure le temps vécu par Julien s'esrt dilaté pour les observateurs terrestres. Il est important de rappeler que le voyage de Julien s'est déroulé en six temps (cinq temps en fait, les étapes trois et quatre n'en forment qu'une seule) :
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1. |
Il a accéléré en direction d'Alpha Virginis pendant près d'une année (349 jours), et a atteint une vitesse proche de celle de la lumière, mesurée depuis la Terre. |
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2. |
Il a arrêté son accélération. En impesanteur, il a continué à s'éloigner de la Terre à la dernière vitesse atteinte, pendant une période de plus ou moins quatre jours. |
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3. |
Puis, son vaisseau ayant fait demi-tour, il a relancé l'accélération, mais dans le sens inverse par rapport à la Terre. Par rapport à la Terre, il a décéléré jusqu'à se retrouver au repos par rapport à notre planète après 349 jours. |
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4. |
La propulsion continuant en direction de la Terre, il s'est rapproché de notre astre d'un mouvement accéléré dans notre direction. Il a calculé 349 nouveaux jours avant d'arrêter l'arrivée de combustible. |
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5. |
Il est resté en impesanteur pendant la même période que la première fois, soit à peu près quatre jours. Son vaisseau naviguait à nouveau à une vitesse proche de celle de la lumière quand elle était mesurée depuis la Terre. |
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6. |
Puis il a activé les réacteurs en direction opposée à celle de la Terre. Le vaisseau se dirigeait ainsi vers la Terre à vitesse décroissante, avant de s'échouer sur notre planète. Julien en était sorti sain et sauf. 349 jours s'écoulèrent à nouveau dans le vaisseau de Julien. |
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Le périple de Julien a ainsi duré approximativement 1404 jours (349+4+349 +349 +4+349) |
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Le graphe montre l'évolution de γ en fonction de β Il apparaît clairement que les effets les plus spectaculaires ne se produisent que lorsque le β s'approche de 1, en d'autres mots, lorsque la vitesse d'un objet - le vaisseau de Julien par exemple - s'approche de la vitesse de la lumière.
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Quelques hypothèses parmi une infinité de possibilités ont dû être prises |
Il faut donc calculer la dilatation pendant les différentes accélérations et décélarations, ainsi que pendant les quelques jours où le vaisseau de Julien navigue à sa vitesse maximale, lorsque les effets de la relativité sont les plus forts. Ici, les hypothèses prises dans le livre seront exposées. Il est à noter qu'il existe une infinité de combinaisons d'accélérations et de temps de voyage qui auraient pu donner les mêmes résultats que ceux qui ont été obtenus. Ici, la difficulté est d'intégrer la relativité dans les étapes 1, 3, 4, et 6 décrites ci-dessus. Avant d'atteindre ses vitesses maximales, le temps du vaisseau se dilate déjà. L'estimation du coefficient γ pour calculer la dilatation du temps est nécessaire. Ce coefficient dépend effectivement de la vitesse, qui évolue elle-même en fonction de l'accélération. Et l'accélération évolue en fonction du coefficient ! Il y a sûrement moyen de se sortir de ce mauvais pas par une belle fonction qu'il suffirait d'intégrer sur une période de 349 jours. L'apport des lecteurs mieux qualifiés pourrait s'avérer précieux pour confirmer - ou corriger - l'estimation. Pour ma part, je me suis contenté d'étudier des intervalles de 30 secondes sur une période de 349 jours dans un fichier Excel. Par un jeu facile d'itération, j'ai pu estimer un γ moyen pour l'ensemble des intervalles, en n'oubliant pas de pondérer le calcul vers l'estimation la plus récente, afin d'intégrer la non-linéarité de l'évolution du coefficient.
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La durée de la première étape est de 349 jours, soit 30.153.600 secondes. Pour chaque plage de trente secondes, j'ai utilisé le γ calculé avec la vitesse en début d'intervalle et j'en ai déduit le facteur de dilatation de l'accélération sur l'intervalle. Cette méthode a un défaut car elle surestime l'accélération sur la période. Le γ n'est en effet pas constant pendant l'intervalle. Il n'était pas possible d'utiliser un γ plus récent car il se calcule avec la vitesse courante, laquelle dépend de l'accélération, qui dépend elle-même du γ ! Cependant cela n'influence que très peu le résultat final, voire pas du tout. Les calculs intégrant la dilatation du temps renseigne que ces quatre périodes de 349 jours ont chacune duré à peu près 2165,50 jours mesurés depuis la Terre. Pour un voyage d'exactement 1404 jours, l'accélération moyenne du vaisseau de Julien - quand les moteurs étaient activés - aurait dû être de 15,61590732 m/s². Les décimales ont leur d'importance. L'imprécision du γ n'en est que plus anecdotique, tant l'accélération effective générée par le vaisseau est influente. Sur base des informations temporelles fournies par Julien Palombe, il est impossible que l'accélération moyenne ne soit pas comprise entre 15,61 et 15,62 m/s². Au passage, notez que cette accélération est supérieure à la gravité d'un peu plus de 59%. =>15,6159 m/s² = 1,5918 * g où g = 9,81m/s² Donc Julien a pesé plus lourd pendant son long voyage. Si sur Terre il pesait 65 kilos, son poids mesuré dans son vaisseau était de ± 105 kilos ! Heureusement qu'il est très résistant ! Les calculs du fichier Excel permettent de déduire également la vitesse maximale mesurée depuis la Terre atteinte par le vaisseau de Julien., elle est de 299.792.455,96 m/s
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Le γ détermine les autres variables... et est déterminé par elles ! |
Des calculs finalement pas si savants sont nécessaires pour comparer les durées du voyage de Julien mesurées depuis son vaisseau et depuis la Terre |
Pour les plus courageux - ou les plus patients - d'entre vous qui sont arrivés jusqu'ici, leur bravoure va être récompensée. Nous savons que au moment où le vaisseau atteint sa vitesse maximale observée depuis la Terre : v = 299.792.455,96 m/s et que : c = 299.792.458,00 m/s
(valeur fixée) donc : β = 99.99999932054% et γ = 8.578,36 !
Les quatre jours (ou 345.600 secondes) de croisière de Julien ont duré depuis la terre :
34.313,50 jours (8578,36 * 4) ou 2.964.821.116 secondes (345.600 * 8578,36) soit : 93 années, 11 mois, 15 jours, et six heures (à peu près, en tenant compte des années bissextiles)
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Le tableau à côté nous permet de récapituler l'écoulement du temps observé depuis le vaisseau de Julien et depuis la Terre. Les étapes d'accélération et de décélération, soit quand le moteur était activé, ont duré chacune 349 jours selon les approximations réalisées par Julien. Depuis la Terre, le temps s'est dilaté, surtout vers la toute fin. Cette même période a duré ainsi 2165,50 jours pour les observateurs de la Terre. Lors de ses deux voyages à vitesse maximale, la dilatation du temps était extrême, et quatre jours ont duré 34.313,50 depuis la Terre. C'est ainsi que Julien avait vieilli de seulement quatre ans quand les Terriens vieillissaient de 211 années. S'il avait eu l'occasion de lancer une descendance avant son expédition, il serait ainsi retourné beaucoup plus jeune que ses arrières arrières petits enfants ! |
Les 1404 jours vécus par Julien dans le vaisseau, soit moins de quatre ans, l'ont amené à penser qu'il revenait sur Terre le 13/02/1803. En réalité, 77.289 jours se sont écoulés sur Terre, soit plus de 211 années. Sa date de retour était donc bien le 19/11/2010. |
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* En fait, ce n'est pas tout à fait exact. La thérie dit qu'il est impossible de franchir la vitesse de la lumière. Il est donc théoriquement possible que des particules aillent naturellement plus vite que la lumière, mais alors elle ne pourront jamais ralentir pour repasser en dessous de la vitesse de la lumière. Ces particules - purement théoriques et jamais observées - portent le nom de tachyons et leur étude (inutile) sort du cadre de l'objectif de ce site. |
